eletromagnetismo quântico químico relativístico Graceli.

MECÂNICA DO SISTEMA DIMENSIONAL GRACELI.

ONDE A MAIORIA DOS FENÔMENOS FÍSICOS [EM TODAS AS ÁREAS] VARIAM CONFORME O SISTEMA DIMENSIONAL GRACELI.

SENDO ELE;

      EQUAÇÃO GERAL DE GRACELI.[quantização de Graceli].

  G ψ = E ψ =  E [tG+].... ..  =

G ψ = E ψ =  E [tG+]ψ ω /c] =   [/ ] /  /   = ħω [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   [ q G*]ψ μ / h/c ψ(x, t)  [x  t ]..

[ q [tG*] ==G ψ = E ψ =  E [tG+].... .. 

SISTEMA GRACELI DE:

 TENSOR [tG+] GRACELI = SDCTIE GRACELI, DENSIDADE DE CARGA E DISTRIBUIÇÃO ELETRÔNICA, NÍVEIS DE ENERGIA, NÚMERO E ESTADO QUÂNTICO. + POTENCIAL DE SALTO QUÂNTICO RELATIVO AOS ELEMENTOS QUÍMICO COM O SEU RESPECTIVO  E ESPECÍFICO NÍVEL DE ENERGIA., POTENCIAL DE ENERGIA, POTENCIAL QUÍMICO,  SISTEMA GRACELI DO INFINITO DIMENSIONAL.

ONDE A CONFIGURAÇÃO ELETRÔNICA TAMBÉM PASSA A SER DIMENSÕES FÍSICO-QUÍMICA DE GRACELI. 

[ q [tG*] = energia quântica Graceli.

Campo elétrico induzido

Consideremos uma barra condutora em movimento dentro de um campo magnético uniforme, ${\displaystyle {\vec {B}}}$, como se mostra na figura abaixo. Sobre cada partícula com carga ${\displaystyle q}$ dentro do condutor atua uma força magnética:

${\displaystyle {\vec {F}}_{\mathrm {m} }=q\,{\vec {v}}\times {\vec {B}}}$

Barra condutora em movimento, dentro de um campo magnético. A força magnética faz acumular cargas opostas nos extremos da barra.

Essa força magnética faz deslocar as cargas de condução no condutor; na situação da figura acima, ficará um excesso de cargas negativas no extremo inferior da barra, e um excesso de cargas positivas no extremo superior, independentemente do sinal das cargas de condução.^[1]

Mas se analisarmos o problema do ponto de vista do referencial S', que se desloca com o condutor, nesse referencial o condutor está em repouso e, portanto, não existe nenhuma força magnética sobre as cargas. Como se explica acumulação de cargas nos dois extremos da barra?

O problema está em que a velocidade é uma grandeza relativa, diferente em diferentes referenciais; isso implica que, para que a equação acima seja correta, é preciso alguma condição adicional que defina exclua todos os referenciais, excepto um onde a equação é válida. A segunda lei de Newton implica que as força deve ser invariante, devido a que a aceleração e a massa são invariantes.

O problema resolve-se admitindo que os campos elétrico e magnético não são invariantes. Dois observadores em dois referenciais diferentes observam diferentes valores para os campos elétrico e magnético, mas observam a mesma força eletromagnética:

${\displaystyle {\vec {F}}=q\left({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right)}$ / G ψ = E ψ =  E [tG+].... .. 

Campo elétrico induzido pelo movimento dentro do campo magnético.

A força eletromagnética é invariante. A primeira equação é válida unicamente num referencial em que o campo elétrico seja nulo. No referencial que se desloca com a barra na figura, deverá aparecer um campo elétrico induzido:

${\displaystyle {\vec {E}}_{\mathrm {i} }={\vec {v}}\times {\vec {B}}}$ / G ψ = E ψ =  E [tG+].... .. 

que produz uma força elétrica igual à força magnética observada no referencial em que a barra se desloca com velocidade relativa ${\displaystyle {\vec {v}}}$.(figura ao lado)

É como se existisse uma , no condutor, igual à diferença de potencial entre os extremos.^[1]

Se o comprimento da barra for ${\displaystyle L}$, a f.e.m. induzida será:^[1]

${\displaystyle \varepsilon _{i}=L\,|{\vec {v}}\times {\vec {B}}|}$ / G ψ = E ψ =  E [tG+].... .. 

A Lei de Biot-Savart é uma equação do Eletromagnetismo que fornece o campo magnético ${\displaystyle \mathbf {B} }$ gerado por uma corrente elétrica ${\displaystyle \mathbf {I} }$ constante no tempo. Essa equação é válida no domínio da Magnetostática. Podemos dizer que a Lei de Biot-Savart é o ponto de partida para a Magnetostática, tendo assim um papel semelhante à Lei de Coulomb na Eletrostática.^[1]

Motivação histórica

Ilustração esquemática do experimento de Oersted.

Já no século XVII havia, dentro da comunidade científica, a suspeita de que fenômenos elétricos e magnéticos pudessem estar interligados. Isso motivou o físico Hans Christian Oersted a conduzir experimentos para observar o efeito da eletricidade numa agulha magnética. Entre 1819 e 1820, Oersted observou que ao se posicionar um fio condutor de um circuito elétrico fechado paralelamente à agulha, essa sofria uma deflexão significativa em relação à sua direção inicial. Oersted publicou os resultados de seu experimento em julho de 1820, limitando-se a uma descrição qualitativa do fenômeno.

A descoberta de Oersted foi divulgada em setembro de 1820 na Academia Francesa, o que motivou diversos estudiosos na França a repetirem e estenderem seus experimentos. A primeira análise precisa do fenômeno foi publicada pelos físicos Jean-Baptiste Biot e Félix Savart, os quais conseguiram formular uma lei que descrevia matematicamente o campo magnético produzido por uma distribuição de corrente elétrica.^[2]

A equação

Distribuições unidimensionais

Para distribuições unidimensionais de corrente, a lei de Biot-Savart possui a seguinte forma:

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {I(r')} \times \mathbf {\hat {\boldsymbol {\eta }}} }{\eta ^{2}}}dl'}$ /

G ψ = E ψ =  E [tG+].... .. 

Nessa equação, ${\displaystyle dl'}$ é um elemento infinitesimal de comprimento ao longo do trajeto da corrente, ${\displaystyle \mathbf {I} }$ é o vetor corrente elétrica e ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\eta }}}}$ é o versor ao longo da linha que une o elemento infinitesimal de comprimento ${\displaystyle dl'}$, cuja posição é ${\displaystyle \mathbf {r'} }$, ao ponto de cálculo do campo ${\displaystyle \mathbf {r} }$:

${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\eta }}}={\frac {\boldsymbol {\eta }}{|{\boldsymbol {\eta }}|}}={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r'} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}}$, / 

G ψ = E ψ =  E [tG+].... .. 

e a constante ${\displaystyle \mu _{0}}$ é a chamada permeabilidade magnética do vácuo

Distribuições bidimensionais

Podemos escrever uma expressão análoga para distribuições bidimensionais de corrente:



${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {K} \mathbf {(r')} \times \mathbf {\hat {\boldsymbol {\eta }}} }{\eta ^{2}}}da'}$ / G ψ = E ψ =  E [tG+].... .. 

Onde ${\displaystyle \mathbf {K} \mathbf {(r')} }$ é a corrente por unidade de comprimento-perpendicular-ao-fluxo, também chamada densidade superficial de corrente. Escreve-se:



${\displaystyle \mathbf {K} \mathbf {(r')} ={\frac {d\mathbf {I} }{dl_{\perp }}}}$ /G ψ = E ψ =  E [tG+].... .. 

Distribuições tridimensionais

Para distribuições tridimensionais de corrente: ${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J(r')} \times \mathbf {\hat {\boldsymbol {\eta }}} }{\eta ^{2}}}d\tau '}$ /G ψ = E ψ =  E [tG+].... .. 

Onde ${\displaystyle \mathbf {J} \mathbf {(r')} }$ é a corrente por unidade de área-perpendicular-ao-fluxo, também chamada densidade volumétrica de corrente. Escreve-se:

${\displaystyle \mathbf {J} \mathbf {(r')} ={\frac {d\mathbf {I} }{da_{\perp }}}}$ / G ψ = E ψ =  E [tG+].... .. 

Notamos também que o elemento infinitesimal de comprimento ${\displaystyle d\mathbf {l'} }$ deve ser substituído pelo elemento infinitesimal de área ${\displaystyle d\mathbf {a'} }$ no caso de distribuições de corrente bidimensionais, e pelo elemento infinitesimal de volume ${\displaystyle d\mathbf {\tau '} }$ no caso de distribuições de corrente tridimensionais. Em todos os casos expostos nessa sessão, as correntes envolvidas são estacionárias.^[3]

Aplicações

Campo de uma corrente retilínea num fio condutor

Ilustração do problema

A Lei de Biot-Savart pode ser empregada para calcular o campo magnético que uma corrente estacionária de intensidade ${\displaystyle I}$ passando por um fio retilíneo infinito causa num ponto ${\displaystyle P}$ a uma distância ${\displaystyle R}$ do fio. Pela regra da mão direita vemos que o produto vetorial ${\displaystyle d\mathbf {l} \times \mathbf {\hat {r}} }$, para ${\displaystyle R}$ fixo, está contido em círculos de raio ${\displaystyle R}$ em torno do fio. O versor ao longo de tais círculos é representado por ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\phi }}}}$. Trabalhando em termos do ângulo ${\displaystyle \theta }$: ${\displaystyle dl'\sin \alpha =dl'\cos \theta }$

Como ${\displaystyle l'=R\tan \theta }$: ${\displaystyle dl'={\frac {R}{\cos ^{2}\theta }}d\theta }$ / G ψ = E ψ =  E [tG+].... .. 

E como ${\displaystyle R=r\cos \theta }$: ${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}={\frac {\cos ^{2}\theta }{R^{2}}}}$ / G ψ = E ψ =  E [tG+].... .. 

Para um trecho de fio indo de ${\displaystyle \theta _{1}}$ a ${\displaystyle \theta _{2}}$:



${\displaystyle \mathbf {B(r)} ={\hat {\boldsymbol {\phi }}}{\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\left({\frac {\cos ^{2}\theta }{R^{2}}}\right)\left({\frac {R}{\cos ^{2}\theta }}\right)\cos \theta d\theta ={\hat {\boldsymbol {\phi }}}{\frac {\mu _{0}I}{4\pi R}}\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\cos \theta d\theta ={\frac {\mu _{0}I}{4\pi R}}(\sin \theta _{2}-\sin \theta _{1})}$


/G ψ = E ψ =  E [tG+].... .. 
Se o fio for infinito, então ${\displaystyle \theta _{1}=-{\frac {\pi }{2}}}$ e ${\displaystyle \theta _{2}={\frac {\pi }{2}}}$ e a expressão fica apenas: ${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}I}{2\pi R}}{\hat {\boldsymbol {\phi }}}}$ ^[4]

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... .. 

Campo no centro de um polígono de n lados

Geometria de um quadrado

De acordo com o raciocínio empregado anteriormente, o campo gerado no centro de um quadrado por um de seus lados vale: ${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}I}{4\pi R}}(\sin \theta _{2}-\sin \theta _{1})\mathbf {\hat {z}} ,}$

já que o campo gerado por cada lado aponta na direção perpendicular ao plano do quadrado (ou seja, se o quadrado estiver contido no plano xy, o campo apontará na direção de z positivo). Pelo princípio de superposição, o campo gerado pelo quadrado é apenas a soma dos campos gerados por cada um de seus lados: ${\displaystyle \mathbf {B({\textrm {centro}})} ={\sqrt {2}}{\frac {\mu _{0}I}{\pi R}}\mathbf {\hat {z}} }$ /G ψ = E ψ =  E [tG+].... .. 

onde ${\displaystyle R}$ é a menor distância do centro do quadrado até um de seus lados. Podemos generalizar esse resultado para um polígono de n lados fazendo ${\displaystyle \theta _{1}=-\theta _{2}=-{\frac {\pi }{n}}}$. / G ψ = E ψ =  E [tG+].... .. Então obtemos:  ^[3]

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... .. 

Campo de uma espira circular no eixo

Campo de uma espira circular

Consideremos uma espira circular de raio ${\displaystyle R}$ percorrida por uma corrente estacionária de intensidade ${\displaystyle I}$. Podemos usar a Lei de Biot-Savart para calcular o campo magnético a uma distância ${\displaystyle z}$ do eixo. Lembrando que: ${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {I} \times \mathbf {\hat {\boldsymbol {\eta }}} }{\eta ^{2}}}dl'}$ /G ψ = E ψ =  E [tG+].... .. 

No caso da espira circular: ${\displaystyle \eta ={\sqrt {z^{2}+R^{2}}}}$ /G ψ = E ψ =  E [tG+].... .. 

Por questões de simetria, sobre o eixo as componentes do campo paralelas ao plano da espira se cancelam, restando apenas a componente ao longo do eixo. Da figura vê-se que: ${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {R}{r}}={\frac {R}{\sqrt {z^{2}+R^{2}}}}}$ /G ψ = E ψ =  E [tG+].... .. 

Logo: ${\displaystyle \mathbf {B} ({\text{eixo}})=\mathbf {\hat {z}} {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}I\int {\frac {dl}{\eta ^{2}}}\sin \alpha =\mathbf {\hat {z}} {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}I{\frac {R}{(z^{2}+R^{2})^{3/2}}}\int dl={\frac {\mu _{0}}{2}}I{\frac {R^{2}}{(z^{2}+R^{2})^{3/2}}}\mathbf {\hat {z}} }$^[5]

/G ψ = E ψ =  E [tG+].... .. 

Direção das linhas de campo magnético

Mesmo quando utilizar a Lei de Biot-Savart para calcular o valor do campo numa região não é a estratégia mais eficiente, ela pode nos dar informações sobre a direção das linhas de campo. Para um elemento infinitesimal de corrente, temos:

${\displaystyle d\mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}{\frac {d\mathbf {l} \times {\hat {\boldsymbol {r}}}}{r^{2}}}}$ /

G ψ = E ψ =  E [tG+].... .. 

que nos diz que em cada ponto, o campo magnético terá a direção do pseudo-vetor ${\displaystyle d\mathbf {l} \times {\hat {\mathbf {r} }}}$, que é dada pela regra da mão direita. Se posicionarmos o polegar na direção de um elemento de corrente e curvarmos nossos dedos de forma a envolvê-lo, obteremos a direção das linhas de campo naquele ponto.^[5]

A magnitude das forças eletrostáticas com as quais duas cargas pontuais em repouso interagem é diretamente proporcional ao produto da magnitude de ambas as cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que as separa.^{[nota 1]}

A força eletrostática atua ao longo da linha reta entre as cargas. Se ambas as cargas possuem o mesmo sinal, a força eletrostática entre elas será de repulsão; se elas possuírem sinais diferentes, a força entre elas será de atração.

A lei de Coulomb também pode ser expressa como uma expressão matemática simples. As formas escalar e vetorial da equação matemática são:

Forma escalar da lei

A forma escalar fornece a magnitude do vetor da força eletrostática ${\displaystyle F}$ entre duas cargas pontuais q₁ e q₂ mas não sua direção. Se ${\displaystyle r}$ é a distância entre as cargas, a magnitude da força é

${\displaystyle |\mathbf {F} |=k_{\text{e}}{|q_{1}q_{2}| \over r^{2}}\qquad }$ /

G ψ = E ψ =  E [tG+].... .. 

Onde:

• ${\displaystyle k_{e}}$ é a Constante de Coulomb (${\displaystyle k_{e}}$ = 8.9875517873681764×10⁹ N⋅m²⋅C⁻² );
• ${\displaystyle q_{1}}$ e ${\displaystyle q_{2}}$ são as magnitudes sinalizadas das cargas, expressas em Coulomb (C)
• a força eletrostática é dada em Newtons (N )

Forma vetorial da lei

A lei de Coulomb afirma que a força eletrostática ${\displaystyle F}$₁ experimentado por uma carga, q₁ na posição ${\displaystyle r}$₁ nas proximidades de outra carga, q₂ na posição ${\displaystyle r}$₂ no vácuo é igual a:

Diagrama que descreve o mecanismo básico da lei de Coulomb. As cargas iguais se repelem e as cargas opostas se atraem

${\displaystyle \qquad \mathbf {F} _{1}=k_{\text{e}}{\frac {q_{1}q_{2}}{{|\mathbf {r} _{12}|}^{2}}}\mathbf {\widehat {r}} _{12},\qquad }$ /G ψ = E ψ =  E [tG+].... .. 

Onde:

• o escalar ${\displaystyle r}$ é a distância entre as cargas, dada em metros (m)
• o vetor ${\textstyle r_{12}=r_{1}-r_{2}}$ é a distância vetorial entre as cargas, e ${\textstyle {\widehat {\mathbf {r} }}_{12}={\frac {\mathbf {r_{12}} }{\mathbf {|r_{12}|} }}}$ (um vetor de unidade apontando de ${\textstyle q_{2}}$ a ${\textstyle q_{1}}$).
• a força eletrostática é dada em Newtons (N)

A forma vetorial da lei de Coulomb é simplesmente a definição escalar da lei com a direção dada pelo vetor unitário, ${\displaystyle {\hat {r}}}$₁₂, paralelo com a linha de carga q₂ a carga q₁.^[14] Se ambas as cargas tiverem o mesmo sinal (como cargas), o produto q₁q₂ é positivo e a direção da força sobre q₁ é dado por ${\displaystyle {\hat {r}}}$₁₂ as cargas repelem. Se as cargas tiverem sinais opostos, o produto q₁q₂ é negativo e a direção da força sobre q₁ é -${\displaystyle {\hat {r}}}$₁₂ as cargas se atraem.

A força eletrostática ${\displaystyle F}$2 experimentado por q₂, de acordo com a terceira lei de Newton , é ${\displaystyle F}$2 = ${\displaystyle -F}$1.

No sistema CGS de unidades, que adota cm, g, s como unidades básicas, toma-se ${\displaystyle k=1}$ para interação entre cargas no vácuo, e define-se a unidade de carga como aquela que exerce uma força de 1 dina sobre outra carga idêntica à distância de 1 cm.^[13]

A lei da indução de Faraday faz uso do fluxo magnético Φ_B através de uma superfície hipotética Σ, cujo bordo é um laço de fio metálico. Uma vez que o laço pode estar se movendo com o tempo, escreve-se Σ(t) para a superfície. O fluxo magnético é definido pela integral de superfície:

${\displaystyle \Phi _{B}=\iint \limits _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} \ }$,/

G ψ = E ψ =  E [tG+].... .. 

onde dA é um elemento de área da superfície Σ(t), B é o campo magnético (também chamado de "densidade do fluxo magnético"), e B·dA é um produto escalar dos dois vetores (a quantidade infinitesimal de fluxo magnético). De outro modo, o fluxo magnético através do laço é proporcional ao número de linhas do fluxo magnético que passam por ele.

Quando o fluxo se modifica — devido a uma mudança do B, ou porque o laço é movido ou deformado, ou ambos — a lei da indução de Faraday afirma que o fio adquire uma FEM, ε, definida como o trabalho por unidade de carga que uma força não-eletrostática realiza quando uma carga é transportada em volta do laço.^{[12][13][14][nota 2]} De forma equivalente, é a voltagem que seria medida ao cortar o arame para criar um circuito aberto, ligando um voltímetro às pontas.

A lei de Faraday afirma que a FEM também é dada pela taxa de variação do fluxo magnético:

${\displaystyle {\mathcal {E}}=-{{d\Phi _{B}} \over dt}\ }$, /

G ψ = E ψ =  E [tG+].... .. 

onde ε é a força eletromotriz (FEM) e Φ_B é o fluxo magnético. A direção da FEM é dada pela lei de Lenz.

Para um fio enrolado firmemente em uma bobina, composta de N voltas idênticas, cada uma com o mesmo Φ_B, a lei da indução de Faraday afirma:^[15][16]

${\displaystyle {\mathcal {E}}=-N{{d\Phi _{B}} \over dt}}$, /

G ψ = E ψ =  E [tG+].... .. 

onde N é o número de voltas do fio e Φ_B é o fluxo magnético através de uma única volta.

Equação de Maxwell-Faraday

A equação de Maxwell-Faraday é uma generalização da lei de Faraday, e afirma que um campo magnético que varia com o tempo é sempre acompanhado por um campo elétrico não-conservativo que varia espacialmente, e vice-versa. A equação de Maxwell–Faraday é:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$ /

G ψ = E ψ =  E [tG+].... .. 

(em unidades do SI), onde ${\displaystyle \nabla \times }$ é o operador rotacional e, novamente, E(r, t) é o campo elétrico e B(r, t) é o campo magnético. Tais campos podem estar em função da posição r e do tempo t.

A equação de Maxwell–Faraday é uma das quatro equações de Maxwell, tendo, portanto, um papel fundamental na teoria do eletromagnetismo clássico. Ela também pode ser escrita na forma integral pelo Teorema de Kelvin-Stokes:^[17]

${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}=-\iint _{\Sigma }{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot d\mathbf {A} }$, /G ψ = E ψ =  E [tG+].... .. 

onde Σ é uma superfície limitada pelo seu bordo ∂Σ; E é o campo elétrico; B é o campo magnético; dℓ é um elemento vetorial infinitesimal de ∂Σ; dA é um elemento vetorial infinitesimal de Σ.

Ambos dℓ e dA têm uma ambiguidade de sinal; para obter o sinal correto, usa-se a regra da mão direita. Para uma superfície plana Σ, um elemento de curva positivo dℓ da curva ∂Σ é definido pela regra de mão direita como estando na direção dos dedos da mão direita quando o polegar aponta na direção do vetor normal n exterior à superfície Σ.